Home / Công nghệ / bài tập ma trận có lời giải dễ hiểu nhất

Bài tập ma trận có lời giải dễ hiểu nhất

admin 21/05/2023

Bài viết này bdkhtravinh.vn reviews đến các bạn đọc triết lý và hạng của ma trận kèm những ví dụ cùng phân loại các dạng toán trường đoản cú cơ phiên bản đến nâng cao về hạng của ma trận:

Định nghĩa hạng của ma trận

Xét ma trận $A=(a_ij)_m imes n.$ Đặt $A_i^d = (a_i1,a_i2,...,a_in);A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_nj endarray ight).$ Hạng của ma trận $A$ là hạng của hệ véctơ mẫu $left A_1^d,A_2^d,..,A_m^d ight$ cùng cũng đó là hạng của hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$ Được kí hiệu là $r(A).$

Định thức bé của ma trận và mối quan hệ với hạng của ma trận

Các đặc điểm về hạng của ma trận

a) $r(A)=r(A");$

b) ví như $A$ là 1 trong những ma trận vuông cung cấp $n$ khi đó $r(A)=nLeftrightarrow det (A) e 0,$ nhờ vào tính chất này bạn có thể dùng định thức để tìm tuyệt biện luận hạng của một ma trận vuông;

c) trường hợp $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ khi đó hệ véctơ dòng (hệ véctơ cột) của ma trận $A$ chủ quyền tuyến tính khi còn chỉ khi $r(A)=n.$

1. Tra cứu hạng của ma trận cho trước

Để tìm hạng của ma trận mang lại trước ta rất có thể sử dụng phép biến hóa Gauss hoặc sử dụng định thức bảo phủ (định thức con thiết yếu cấp k của ma trận). Cùng xem các ví dụ sau:

Câu 1:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

Giải.

Bạn đang xem: Bài tập ma trận có lời giải dễ hiểu nhất

Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl - 2d_1 + d_2 \ - 3d_1 + d_3 \ - 2d_1 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&2&3& - 7&5 \ 0&3& - 2& - 4&0 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight). hfill \ endgathered $

Vậy $r(A)=3.$

Câu 2:Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tìm kiếm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z \ y&z&x \ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với

Do đó $r(A)le 2.$ ngoài ra $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Câu 3:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ 0&3& - 1 \ - 2&4&2 \ 2&5&7 endarray ight).$

Giải.Ta có:

Vậy $r(A)=3.$

Câu 4:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 \ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2 \ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&3&0 \ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cung cấp 4 bảo phủ định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$

Câu 5:Tìm hạng của ma trận bằng phương thức định thức bao quanh.

Giải. Có

Ta xét các định thức cấp 5 bao quanh định thức cấp 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

Câu 6:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 3&4&5&...&n + 2 \ 4&5&6&...&n + 3 \ ...&...&...&...&... \ n + 1&n + 2&n + 3&...&2n endarray ight).$

Giải.Ta có

Câu 7:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&3&0 \ 2& - 1&1& - 1&4 \ 3&1&3&1&5 \ - 1&3& - 2&1& - 10 endarray ight).$

Giải.Có $D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2& - 1&3 \ 2& - 1&1& - 1 \ 3&1&3&1 \ - 1&3& - 2&1 endarray ight| = 45 e 0 Rightarrow r(A) = 4.$

Câu 8:Tìm hạng của ma trận sau$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n \ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n \ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Giải.Có đổi khác ma trận:

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình đường tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: quy mô Input - output của Leontief

Bài 5: quy mô cân bằng thị trường và cân nặng bằng tài chính vĩ mô

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN mang đến TRƯỚC

Tìm hạng của các ma trận sau:

a) $A = left( eginarray*20c 3&2&1 \ 1& - 1& - 3 \ 1&1&1 endarray ight);$	b) $A = left( eginarray*20c 2&3& - 1&4 \ 3& - 4&2& - 1 \ - 1&7& - 2& - 8 \ 4&6& - 1& - 5 endarray ight);$
c) $A = left( eginarray*20c 3& - 1&3&2&5 \ 5& - 3&2&3&4 \ 1& - 3& - 5&0& - 7 \ 7& - 5&1&4&1 endarray ight);$	d) $A = left( eginarray*20c 1&3&5& - 1 \ 2& - 1& - 3&4 \ 5&1& - 1&7 \ 7&7&9&1 endarray ight);$
e) $A = left( eginarray*20c 25&31&17&43 \ 75&94&53&132 \ 75&94&54&134 \ 25&32&20&48 endarray ight);$	f) $A = left( eginarray*20c 4&3& - 5&2&3 \ 8&6& - 7&4&2 \ 4&3& - 8&2&7 \ 4&3&1&2& - 5 \ 8&6& - 1&4& - 6 endarray ight).$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Tương tự như tìm kiếm hạng của ma trận cho trước ta hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi Gauss hoặc sử dụngđịnh thức bao quanh(định thức con thiết yếu cấp k của ma trận). Giả dụ ma trận yêu cầu biện luận hạng là 1 ma trận vuông ta rất có thể biện luận hạng của nó theo định thức của ma trận đó. Thuộc xem các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.

Ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ tuổi nhất, cùng với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ minh chứng rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

Ví dụ 9:Biện luận hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 2&m& - 1&2&1 \ 1&1& - 1&m& - 1 \ 2&3& - 1&2&1 endarray ight).$

Giải.Biến thay đổi ma trận $A$

+ nếu như $m=3Rightarrow rleft( A ight)=3$

+ ví như $m e 3Rightarrow rleft( A ight)=4$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ tuổi nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải. Có

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn phát âm tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ gồm hạng bởi 2.

Xem thêm: Những Tướng Mạnh Nhất Liên Quân, Top 10 Vị Tướng Mạnh Nhất Trong Liên Quân Mobile

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ bao gồm hạng bé nhỏ nhất.

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ khủng nhất.

Ví dụ 15:Tìm $a,b,c$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 2&3& - 1&2b& - a&b - 2 \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight)$ nhỏ nhất.

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 2&3& - 1&2b& - a&b - 2 \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 0&7& - 1& - 2a - 2 + 2b& - a - 2b&b - 2 + 2c \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 0&7& - 1& - 2a - 2 + 2b& - a - 2b&b - 2 + 2c \ 0&0&0& - 2a + 2b + c - 2& - a - 2b + 2c - 1&2a + b + 2c - 2 endarray ight). hfill \ endgathered $

Vậy $r(A)_min = 2 Leftrightarrow left{ egingathered - 2a + 2b + c - 2 = 0 hfill \ - a - 2b + 2c - 1 = 0 hfill \ 2a + b + 2c - 2 = 0 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered a = - dfrac19 hfill \ b = dfrac49 hfill \ c = dfrac89 hfill \ endgathered ight..$

Ví dụ 16:Cho những số thực dương $a,b$ hài lòng $a+b>2$ cùng ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Giải.Đây là ma trận vuông vậy trước hết tính định thức của nó:

Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$

+) giả dụ $a e bRightarrow det (A) e 0Rightarrow r(A)=4.$

+) giả dụ $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray ight| = 1 - a^2 2$ với ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Đây là ma trận vuông vậy thứ nhất tính định thức của nó:

Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$

+) nếu như $a e bRightarrow det (A) e 0Rightarrow r(A)=4.$

+) giả dụ $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray ight| = 1 - a^2 $r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài bác giảng tại đây:https://bdkhtravinh.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

hoặc trên đây:https://askmath.vn/cau-hoi/dinh-li-ve-hang-cua-ma-tran-phu-hop-cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu/d82056f4-cd53-4877-b64b-ad797fc95185

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray ight).$ Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A^*$ là ma trận phụ vừa lòng của $A.$

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray ight)xrightarrowmathbfdoi\_cho\_mathbfd_mathbf1mathbf& mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ 1&2&m&1 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf4mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&5&6&13 \ 0&4&m + 1&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf5mathbfd_mathbf2mathbf + 2mathbfd_mathbf3 \ mathbf2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&0&7& - 14 \ 0&0&m - 1& - 12 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - (m - 1)mathbfd_mathbf3mathbf + 7mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&0&7& - 14 \ 0&0&0&14(m - 7) endarray ight). hfill \ endgathered $

+) giả dụ $m e 7Rightarrow r(A)=4Rightarrow r(A^*)=4;$

+) trường hợp $m=7Rightarrow r(A)=3=4-1Rightarrow r(A^*)=1.$

4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận

Ta áp dụng các đặc điểm về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là nhì ma trận thuộc cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là nhì ma trận bất kì làm sao để cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ với $A,B$ là nhì ma trận vuông cùng cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n$ vừa lòng $A^2=E.$ minh chứng rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ minh chứng rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc đó $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do đó $det (C)-(-1)^n$ phân tách hết cho 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ search hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Giải. Ta tất cả $r(B)=r(C)=1$ với $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Ví dụ 4: Cho nhì ma trận $A,B$ vuông thuộc cấp sao để cho $A^2=A,B^2=B$ với ma trận $E-A-B$ khả nghịch. Chứng tỏ rằng $r(A)=r(B).$

Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch nên$left{ egingathered r(A) = r(A(E - A - B)) = r(A - A^2 - AB) = r( - AB) hfill \ r(B) = r((E - A - B)B) = r(B - AB - B^2) = r( - AB) hfill \ endgathered ight. Rightarrow r(A) = r(B).$

Ví dụ 5:Cho ma trận vuông $A$ bằng lòng $A^m=O.$ chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta luôn có $r(A)=r(A+A^2+...+A^n).$

Giải.Xét những phương trình $AX=O(1);(A+A^2+...+A^n)X=O(2).$

Ta chỉ việc chứng minh (1) cùng (2) bao gồm cùng tập nghiệm, lúc ấy $r(A)=r(A+A^2+...+A^n)=p-r$ trong những số đó $p$ là cấp cho của ma trận $A;$ và $r$ là số chiều không khí nghiệm của nhị hệ phương trình.

+) ví như $AX_0=ORightarrow (A+A^2+...+A^n)X_0=AX_0+A(AX_0)+...+A^n-1(AX_0)=O.$

+) ví như $(A+A^2+...+A^n)X_0=ORightarrow AX_0=-(A^2+...+A^n)X_0=-A^2(E+A+...+A^n-2)X_0=A^2BX_0,$ trong những số ấy $B=-(E+A+...+A^n-2),AB=BA.$

Suy ra

Ta tất cả điều phải chứng minh.

Ví dụ 6:Cho $A$ là ma trận thực cấp $4 imes 2$ cùng $B$ là ma trận thực cấp cho $2 imes 4$ tán thành $AB = left( eginarray*20c 1&0& - 1&0 \ 0&1&0& - 1 \ - 1&0&1&0 \ 0& - 1&0&1 endarray ight).$ kiếm tìm ma trận $BA.$

5. điều tra hạng của hệ véctơ dựa trên hạng của ma trận